Cansu
New member
72 Sayısının Asal Olmayan Doğal Sayı Çarpanları Nelerdir?
Bir sayının çarpanlarını bulmak ilk bakışta yalnızca işlem yapmaktan ibaret gibi görünür. Oysa konu biraz dikkatle incelendiğinde sayıların nasıl düzenli bir yapıya sahip olduğunu görmek mümkündür. Özellikle “asal olmayan çarpanlar” soruları, hem asal sayıları hem de bölen kavramını anlamak açısından oldukça öğreticidir. Bu yazıda 72 sayısının asal olmayan doğal sayı çarpanlarının kaç tane olduğunu adım adım inceleyeceğiz. Konuyu yalnızca sonuca ulaşmak için değil, gerçekten mantığını kavramak için ele alacağız.
Önce Çarpan Kavramını Netleştirelim
Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen sayılara o sayının çarpanları ya da bölenleri denir. Örneğin 72 sayısını düşünelim. Eğer bir sayı 72’yi tam bölüyorsa, o sayı 72’nin çarpanıdır.
Mesela:
* 72 ÷ 1 = 72
* 72 ÷ 2 = 36
* 72 ÷ 3 = 24
Bu işlemlerde kalan olmadığı için 1, 2 ve 3; 72’nin çarpanlarıdır.
Aynı şekilde 4, 6, 8, 9, 12 gibi sayılar da 72’yi kalansız böler. Ancak burada dikkat edilmesi gereken önemli nokta şudur: Soruda bizden tüm çarpanlar değil, “asal olmayan doğal sayı çarpanları” isteniyor.
Bu nedenle önce 72’nin bütün doğal sayı çarpanlarını bulacağız, sonra bunların içinden asal olanları ayıracağız.
72 Sayısının Tüm Doğal Sayı Çarpanları
Bir sayının çarpanlarını düzenli biçimde bulmanın en kolay yolu çarpan çiftleri oluşturmaktır.
72’nin çarpan çiftleri şunlardır:
* 1 × 72
* 2 × 36
* 3 × 24
* 4 × 18
* 6 × 12
* 8 × 9
Buradan hareketle 72’nin tüm pozitif çarpanlarını sıralayabiliriz:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Toplamda 12 tane doğal sayı çarpanı vardır.
Buraya kadar işlem oldukça net. Fakat şimdi işin önemli kısmına geçiyoruz: Bunlardan hangileri asal değildir?
Asal Sayı Nedir, Asal Olmayan Sayı Nedir?
Bir doğal sayının asal olması için yalnızca iki pozitif böleni olması gerekir:
* 1
* Kendisi
Örneğin:
* 2 yalnızca 1 ve 2’ye bölünür.
* 3 yalnızca 1 ve 3’e bölünür.
Bu nedenle 2 ve 3 asal sayıdır.
Şimdi elimizdeki çarpanlara bakalım:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Bunların içindeki asal sayılar:
* 2
* 3
Peki ya 1?
Burada birçok kişinin karıştırdığı bir nokta vardır. 1 sayısı asal değildir. Çünkü asal sayıların tam olarak iki böleni olmalıdır. 1’in ise yalnızca bir böleni vardır.
Dolayısıyla 1 de “asal olmayan” sayılar grubuna girer.
Asal Olmayan Çarpanları Ayıralım
Şimdi listemizdeki tüm çarpanlardan asal olanları çıkaralım.
Tüm çarpanlar:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Asal olanlar:
2 ve 3
Geriye kalanlar:
* 1
* 4
* 6
* 8
* 9
* 12
* 18
* 24
* 36
* 72
Bunlar 72’nin asal olmayan doğal sayı çarpanlarıdır.
Şimdi sayalım:
Toplam 10 tane asal olmayan doğal sayı çarpanı vardır.
Sonuca Daha Kısa Yoldan Nasıl Gidilebilir?
Bazen tüm çarpanları tek tek yazmak yerine daha pratik düşünmek de mümkündür.
Önce toplam çarpan sayısını bulabiliriz.
72’nin asal çarpanlarına ayrılmış hali şöyledir:
72 = 2^3 times 3^2
Bir sayının toplam pozitif bölen sayısını bulmak için üslerin bir fazlası alınır ve çarpılır:
(3+1)(2+1)=12
Yani 72’nin toplam 12 pozitif böleni vardır.
Asal olan bölenler ise yalnızca 2 ve 3’tür. Toplam 2 tane asal bölen bulunduğuna göre:
12 - 2 = 10
Sonuç yine 10 çıkar.
Bu yöntem özellikle büyük sayılarda ciddi zaman kazandırır.
Neden Böyle Sorular Soruluyor?
İlk bakışta yalnızca işlem pratiği gibi görünen bu tarz sorular aslında sayıların yapısını anlamayı hedefler. Çünkü bir öğrencinin:
* bölen kavramını,
* asal sayıları,
* asal çarpanlara ayırmayı,
* düzenli liste oluşturmayı
aynı anda kullanmasını sağlar.
Üstelik burada küçük gibi görünen “1 asal mı değil mi?” ayrıntısı bile dikkat becerisini ölçer. Pek çok kişi aceleyle yalnızca bileşik sayıları düşünür ve 1’i unutabilir. Oysa matematikte bazen sonuca değil, ayrıntıya dikkat eden kazanır.
Kafa Karıştıran Nokta: Asal Olmayan Her Sayı Bileşik midir?
Hayır. Bu önemli bir ayrımdır.
Bileşik sayı; ikiden fazla böleni olan sayıdır.
Örneğin:
* 4
* 6
* 8
* 9
gibi sayılar bileşiktir.
Ama 1 sayısı bileşik değildir. Çünkü yalnızca tek böleni vardır.
Yani:
* Asal değil
* Ama bileşik de değil
olan tek doğal sayı 1’dir.
Bu yüzden “asal olmayan sayı” ifadesi kullanıldığında 1’i unutmamak gerekir.
Konuyu Küçük Bir Örnekle Pekiştirelim
Aynı mantığı 20 sayısında düşünelim.
20’nin çarpanları:
1, 2, 4, 5, 10, 20
Asal olanlar:
2 ve 5
Asal olmayanlar:
1, 4, 10, 20
Toplam 4 tane.
Bu küçük örnek aslında 72’de yaptığımız işlemin aynısıdır. Sayı büyüse bile mantık değişmez.
Sonuç
72 sayısının doğal sayı çarpanları toplam 12 tanedir. Bunların içindeki asal çarpanlar yalnızca 2 ve 3’tür. Geriye kalan çarpanların tamamı asal olmayan sayılardır.
Dolayısıyla 72 sayısının asal olmayan doğal sayı çarpanlarının sayısı:
10
olarak bulunur.
Bu tür sorularda önemli olan yalnızca cevabı bulmak değildir. Sayıları sınıflandırabilmek, asal sayı mantığını doğru kurabilmek ve özellikle 1 sayısının durumunu unutmamak gerekir. Matematik çoğu zaman dikkatli düşünmeyi ödüllendirir; burada da tam olarak olan budur.
Bir sayının çarpanlarını bulmak ilk bakışta yalnızca işlem yapmaktan ibaret gibi görünür. Oysa konu biraz dikkatle incelendiğinde sayıların nasıl düzenli bir yapıya sahip olduğunu görmek mümkündür. Özellikle “asal olmayan çarpanlar” soruları, hem asal sayıları hem de bölen kavramını anlamak açısından oldukça öğreticidir. Bu yazıda 72 sayısının asal olmayan doğal sayı çarpanlarının kaç tane olduğunu adım adım inceleyeceğiz. Konuyu yalnızca sonuca ulaşmak için değil, gerçekten mantığını kavramak için ele alacağız.
Önce Çarpan Kavramını Netleştirelim
Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen sayılara o sayının çarpanları ya da bölenleri denir. Örneğin 72 sayısını düşünelim. Eğer bir sayı 72’yi tam bölüyorsa, o sayı 72’nin çarpanıdır.
Mesela:
* 72 ÷ 1 = 72
* 72 ÷ 2 = 36
* 72 ÷ 3 = 24
Bu işlemlerde kalan olmadığı için 1, 2 ve 3; 72’nin çarpanlarıdır.
Aynı şekilde 4, 6, 8, 9, 12 gibi sayılar da 72’yi kalansız böler. Ancak burada dikkat edilmesi gereken önemli nokta şudur: Soruda bizden tüm çarpanlar değil, “asal olmayan doğal sayı çarpanları” isteniyor.
Bu nedenle önce 72’nin bütün doğal sayı çarpanlarını bulacağız, sonra bunların içinden asal olanları ayıracağız.
72 Sayısının Tüm Doğal Sayı Çarpanları
Bir sayının çarpanlarını düzenli biçimde bulmanın en kolay yolu çarpan çiftleri oluşturmaktır.
72’nin çarpan çiftleri şunlardır:
* 1 × 72
* 2 × 36
* 3 × 24
* 4 × 18
* 6 × 12
* 8 × 9
Buradan hareketle 72’nin tüm pozitif çarpanlarını sıralayabiliriz:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Toplamda 12 tane doğal sayı çarpanı vardır.
Buraya kadar işlem oldukça net. Fakat şimdi işin önemli kısmına geçiyoruz: Bunlardan hangileri asal değildir?
Asal Sayı Nedir, Asal Olmayan Sayı Nedir?
Bir doğal sayının asal olması için yalnızca iki pozitif böleni olması gerekir:
* 1
* Kendisi
Örneğin:
* 2 yalnızca 1 ve 2’ye bölünür.
* 3 yalnızca 1 ve 3’e bölünür.
Bu nedenle 2 ve 3 asal sayıdır.
Şimdi elimizdeki çarpanlara bakalım:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Bunların içindeki asal sayılar:
* 2
* 3
Peki ya 1?
Burada birçok kişinin karıştırdığı bir nokta vardır. 1 sayısı asal değildir. Çünkü asal sayıların tam olarak iki böleni olmalıdır. 1’in ise yalnızca bir böleni vardır.
Dolayısıyla 1 de “asal olmayan” sayılar grubuna girer.
Asal Olmayan Çarpanları Ayıralım
Şimdi listemizdeki tüm çarpanlardan asal olanları çıkaralım.
Tüm çarpanlar:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Asal olanlar:
2 ve 3
Geriye kalanlar:
* 1
* 4
* 6
* 8
* 9
* 12
* 18
* 24
* 36
* 72
Bunlar 72’nin asal olmayan doğal sayı çarpanlarıdır.
Şimdi sayalım:
Toplam 10 tane asal olmayan doğal sayı çarpanı vardır.
Sonuca Daha Kısa Yoldan Nasıl Gidilebilir?
Bazen tüm çarpanları tek tek yazmak yerine daha pratik düşünmek de mümkündür.
Önce toplam çarpan sayısını bulabiliriz.
72’nin asal çarpanlarına ayrılmış hali şöyledir:
72 = 2^3 times 3^2
Bir sayının toplam pozitif bölen sayısını bulmak için üslerin bir fazlası alınır ve çarpılır:
(3+1)(2+1)=12
Yani 72’nin toplam 12 pozitif böleni vardır.
Asal olan bölenler ise yalnızca 2 ve 3’tür. Toplam 2 tane asal bölen bulunduğuna göre:
12 - 2 = 10
Sonuç yine 10 çıkar.
Bu yöntem özellikle büyük sayılarda ciddi zaman kazandırır.
Neden Böyle Sorular Soruluyor?
İlk bakışta yalnızca işlem pratiği gibi görünen bu tarz sorular aslında sayıların yapısını anlamayı hedefler. Çünkü bir öğrencinin:
* bölen kavramını,
* asal sayıları,
* asal çarpanlara ayırmayı,
* düzenli liste oluşturmayı
aynı anda kullanmasını sağlar.
Üstelik burada küçük gibi görünen “1 asal mı değil mi?” ayrıntısı bile dikkat becerisini ölçer. Pek çok kişi aceleyle yalnızca bileşik sayıları düşünür ve 1’i unutabilir. Oysa matematikte bazen sonuca değil, ayrıntıya dikkat eden kazanır.
Kafa Karıştıran Nokta: Asal Olmayan Her Sayı Bileşik midir?
Hayır. Bu önemli bir ayrımdır.
Bileşik sayı; ikiden fazla böleni olan sayıdır.
Örneğin:
* 4
* 6
* 8
* 9
gibi sayılar bileşiktir.
Ama 1 sayısı bileşik değildir. Çünkü yalnızca tek böleni vardır.
Yani:
* Asal değil
* Ama bileşik de değil
olan tek doğal sayı 1’dir.
Bu yüzden “asal olmayan sayı” ifadesi kullanıldığında 1’i unutmamak gerekir.
Konuyu Küçük Bir Örnekle Pekiştirelim
Aynı mantığı 20 sayısında düşünelim.
20’nin çarpanları:
1, 2, 4, 5, 10, 20
Asal olanlar:
2 ve 5
Asal olmayanlar:
1, 4, 10, 20
Toplam 4 tane.
Bu küçük örnek aslında 72’de yaptığımız işlemin aynısıdır. Sayı büyüse bile mantık değişmez.
Sonuç
72 sayısının doğal sayı çarpanları toplam 12 tanedir. Bunların içindeki asal çarpanlar yalnızca 2 ve 3’tür. Geriye kalan çarpanların tamamı asal olmayan sayılardır.
Dolayısıyla 72 sayısının asal olmayan doğal sayı çarpanlarının sayısı:
10
olarak bulunur.
Bu tür sorularda önemli olan yalnızca cevabı bulmak değildir. Sayıları sınıflandırabilmek, asal sayı mantığını doğru kurabilmek ve özellikle 1 sayısının durumunu unutmamak gerekir. Matematik çoğu zaman dikkatli düşünmeyi ödüllendirir; burada da tam olarak olan budur.